哈佛大学《Black-Scholes模型笔记》详细解读
本文将为大家详细介绍哈佛大学金融学课程中的经典笔记：《Black-Scholes模型笔记》。该笔记涵盖了Black-Scholes期权定价模型的理论基础、模型推导、假设条件及其应用场景。我们将以清晰易懂的方式逐章分析这份笔记的核心内容，并保留其中的数学推导、公式和关键的技术要点。本文适合对金融数学和期权定价感兴趣的读者，希望可以帮助大家深入理解Black-Scholes模型的精髓。
1. 引言
Black-Scholes模型（Black-Scholes Model）是期权定价理论中的奠基性模型，由Fischer Black和Myron Scholes于1973年提出，并由Robert Merton进一步完善。该模型首次为金融市场中的欧式期权定价提供了一个封闭形式的解析解。在现代金融学中，Black-Scholes模型被广泛应用于衍生品市场，用于定价各种金融工具，尤其是期权。
Black-Scholes模型的主要贡献在于它引入了一个无风险的复制组合，这使得期权的定价问题能够转化为一个偏微分方程求解问题。通过合理的假设，该方程可以得到一个解析解，从而为欧式期权的定价提供了理论支持。
2. 模型的假设
Black-Scholes模型的建立基于一系列的假设条件，这些假设虽然简化了模型推导的复杂性，但在实际应用中并不完全符合现实。以下是Black-Scholes模型的主要假设：
- 1. 市场是无摩擦的：即不存在交易成本和税收，投资者可以在任意时刻进行无限制的交易。
- 2. 无风险利率恒定：假设市场中的无风险利率在整个期权存续期内保持不变。
- 3. 标的资产价格服从几何布朗运动：股票或标的资产的价格随时间变化，且其变化是一个随机过程，具体遵循几何布朗运动。其数学表达为： 其中，为资产的预期收益率，为价格波动率，是一个标准布朗运动。
- 4. 无套利机会：市场不存在套利机会，所有资产的价格反映了其真实价值。
- 5. 欧式期权：模型仅适用于欧式期权，即期权只能在到期日行使，而非美式期权。
- 6. 无股息支付：在期权存续期内，假设标的资产不支付股息。
这些假设使得模型在理论上具有简洁性和可操作性，但同时也限制了其在复杂市场条件下的应用。
3. 几何布朗运动与股票价格建模
Black-Scholes模型假设标的资产价格服从几何布朗运动，这意味着股票价格的变化遵循如下的随机微分方程： 其中，为资产的预期收益率，为波动率，为标准布朗运动。
在这个框架下，股票价格的对数变化率是常数，并且资产价格的变化不仅依赖于时间的推移，还与一个随机变量相关。这一随机过程的引入使得Black-Scholes模型能够捕捉金融市场中的随机性。
通过伊藤引理（It?’s Lemma），我们可以推导出资产价格的对数变化的方程，进而为后续的期权定价公式推导打下基础。
4. Black-Scholes数学模型
Black-Scholes模型的核心
Black-Scholes模型的核心是通过构建一个无风险投资组合，从而推导出一个偏微分方程，用于求解期权的价格。其基本思路是：
- ? 目标：通过持有一定数量的标的资产和期权，构建一个对市场价格变化敏感度相等的组合。
- ? 效果：这样的组合可以消除资产价格波动带来的风险，使得组合的收益率等同于无风险利率。
定义变量和无风险投资组合
- ? 期权价格：设为期权的价格，取决于标的资产价格和时间。
- ? 标的资产价格：，即股票或其他标的资产的价格。
- ? 无风险投资组合的定义：
其中，是期权价格相对于标的资产价格的变化率，称为Delta值。
资产价格的随机过程
根据伊藤引理，标的资产价格的变化满足随机微分方程：
- ? ：资产的预期收益率。
- ? ：资产的波动率。
- ? ：Wiener过程（布朗运动）的增量。
期权价格的变化
应用伊藤引理，期权价格的变化为：
计算无风险投资组合的变化
投资组合的变化量：
代入和的表达式，并注意到的性质，整理后得到：
注意：随机项被消除了，投资组合的变化不再依赖于随机过程。
应用无套利条件
根据无套利原理，无风险投资组合的收益率应等于无风险利率：
将和代入：
Black-Scholes偏微分方程
整理上式，移项并消去：
得到的方程即为Black-Scholes偏微分方程。
求解偏微分方程
- ? 性质：这是一个标准的二阶偏微分方程。
- ? 方法：可以通过数值方法（如有限差分法）或解析方法（如变换和特解）求解。
- ? 结果：得到期权价格，描述其随时间和标的资产价格的变化关系。
总结
- ? 核心思想：通过构建一个对市场价格变化敏感度相等的无风险投资组合，利用无套利条件，消除资产价格波动的风险。
- ? 关键结果：推导出Black-Scholes偏微分方程，为期权定价提供了理论基础。
- ? 应用：该模型广泛用于金融工程中期权和其他衍生品的定价。
5. Black-Scholes公式及其推导
Black-Scholes公式
Black-Scholes公式用于计算欧洲看涨期权和看跌期权的价格。它可以通过求解Black-Scholes偏微分方程得出。
对于一个不支付股息的标的资产，看涨期权的价格表达为：
其中：
同时，还可以表示为：
对应的看跌期权价格基于看涨-看跌平价公式为：
进一步展开：
对于上述公式中的符号：
- ? 是标准正态分布的累积分布函数
- ? 是期权的剩余到期时间
- ? 是标的资产的现价
- ? 是执行价格
- ? 是无风险利率（年化利率，基于连续复利）
- ? 是标的资产回报率的波动率
解释
术语 这两个项分别表示在等价指数鞅概率测度（基准资产为股票）和等价鞅概率测度（基准资产为无风险资产）下，期权到期时处于价内的概率。等价鞅概率测度也称为风险中性概率测度。需要注意的是，这些都是从测度论角度出发的概率，它们并不是在真实概率测度下期权到期处于价内的真实概率。要计算真实（“物理”）概率测度下的概率，还需要额外的信息——物理测度下的漂移项，或者等价地，市场风险溢价。
推导
我们现在展示如何从一般的Black-Scholes偏微分方程推导出期权的具体估值。以看涨期权为例，满足以下边界条件的Black-Scholes偏微分方程：
最后一个条件给出了期权在到期时的价值。该偏微分方程的解给出了期权在任意较早时间的价值。为了求解此偏微分方程，我们通过引入变量变换将其转化为扩散方程：
此时，Black-Scholes偏微分方程变为扩散方程：
终端条件 现在变成初始条件：
使用求解扩散方程的标准方法，我们得到：
经过一些变换后，得到
其中
将 转换回原始变量，得到上述Black-Scholes方程的解。
BS模型存在的局限性
Black-Scholes模型通过严格的数学推导，提供了一个准确的期权定价公式。虽然在现实世界中，该模型的某些假设（如无摩擦市场和恒定波动率）可能与实际情况不符，但其结果在理论研究和实际应用中仍然有很大的参考价值，尤其在分析期权定价和构建对冲策略时。
6. 期权希腊值（Option Greeks）
在Black-Scholes模型中，期权的希腊值是衡量期权价格对各种风险因素（如标的资产价格、波动率、时间、利率等）敏感度的工具。常见的希腊值包括：
- 1. Delta：期权价格相对于标的资产价格变化的敏感度。
- 2. Gamma：Delta相对于标的资产价格变化的敏感度。
- 3. Theta：期权价格相对于时间变化的敏感度。
- 4. Vega：期权价格相对于波动率变化的敏感度。
- 5. Rho：期权价格相对于无风险利率变化的敏感度。
这些希腊值在风险管理和期权组合的对冲策略中起着重要作用。
7. Black-Scholes模型的局限性
尽管Black-Scholes模型在期权定价中取得了巨大的成功，但它也存在一些局限性：
- 1. 假设条件的限制：例如，假设无风险利率和波动率保持恒定，而实际市场中这些因素是动态变化的。
- 2. 无股息支付的假设：该模型假设标的资产在期权有效期内不支付股息，但实际市场中股息支付较为常见。
- 3. 无法定价美式期权：Black-Scholes模型仅适用于欧式期权，而美式期权允许在到期日前行使，需要更加复杂的数值方法进行定价。
8. 总结
Black-Scholes模型是金融衍生品定价中的一个基础性工具，其推导基于严格的数学假设和金融理论。尽管存在一定的局限性，该模型仍然为期权定价和风险管理提供了宝贵的工具和见解。在实际应用中，金融从业者常常根据具体的市场条件，对模型进行扩展或修正，以提高其适用性。