“Lattice ?4 field theory as a multi-agent system of financial markets”
量子力学和智能体都是时下最热门的话题，两者的碰撞在金融市场能擦出什么样的火花呢。本文针对这一问题进行了深入探索。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.15813
摘要
本文提出了一种?4格点场论，模拟金融市场的特征，如收益的厚尾分布和波动聚集。每个格点代表一个代理，代理的买卖决策受邻居行为和多数或少数意见的影响。通过马尔可夫场结构进行?4概率分布的构造性分解，并使用Ferrenberg-Swendsen采样步骤重组。数值验证表明，该多代理?4场论能再现FTSE 100伦敦证券交易所指数的实证数据行为。并讨论了?4场论中连续自由度的存在，提供了超越伊辛模型的多代理系统的表现能力。
简介
统计物理为定量金融提供了数学框架，因金融价格表现出类似于统计物理中多体相互作用的普遍行为。研究通常考虑两类代理人：基本面投资者（根据资产的基本价值决策）和技术分析者（基于趋势和他人行为决策），其共存导致羊群效应。自旋模型（如伊辛模型）用于模拟相互作用代理人的系统，揭示集体买卖行为的相变。
本文引入?4格点标量场理论作为多代理系统，描述金融市场中买卖动态及预期泡沫和崩盘的出现。代理人的决策通过连续值表示，包含模仿邻居和遵循多数或少数意见的相互作用。采用Gibbs采样方法，利用?4理论的马尔可夫性质引入竞争性相互作用。探索?4理论是否能再现金融市场的风格化事实，如收益的厚尾分布和波动聚集。
将结果与FTSE 100指数的实证数据进行比较，讨论?4理论在建模实证金融数据中的扩展潜力。研究?4理论能否重现与实证研究一致的临界指数，强调其相较于伊辛模型的更高表现能力。
构建分解的φ4理论
?4标量场理论在二维格点上描述，具有自发破缺Z_2对称性，λ>0时存在二阶相变。在极限λ→∞和m→?∞时，系统简化为伊辛模型。
使用螺旋边界条件，系统的玻尔兹曼概率分布为
Z为分区函数。
采用Gibbs采样和Ferrenberg-Swendsen方法对概率分布进行构造性分解。?4理论是马尔可夫随机场，满足局部马尔可夫性质，允许条件概率分布的Gibbs采样。条件概率分布通过邻居的状态进行表达，涉及高斯分布的均值和标准差。
?4 理论的条件概率分布 p(? i | ? j,j ∈n i) 可以通过 Ferrenberg-Swendsen 接受或拒绝采样步骤重组。首先从高斯分布 N(μ, σ2) 中采样提议的自由度 ? ′ i。然后从均匀分布 U[0, 1) 中抽取随机数 u，并计算 f2(? ′ i)。如果 f2(? ′ i) > u，则接受 ? ′ i 作为有效的自由度。这种重组仅在 c2 > 0 和 c3 足够小的情况下有效。该框架可用于采样传统的 ?4 理论的概率分布。研究目标是将这些概念扩展到多智能体 ?4 理论，以模拟金融市场中的交互代理。
作为金融市场模型的多主体φ4理论
在金融市场中，代理人之间的互动可分为两种：模仿邻居的行为导致的羊群效应，以及对多数或少数意见的偏好。羊群效应通过Z2对称性破缺相变在格点模型中体现，代理人的决策（买或卖）通过集体对称性编码。代理人可能会选择与少数意见对齐，以避免潜在的市场崩溃或利用低估股票的机会。
引入一个新项h，类似于伊辛模型，适用于连续自由度的?4理论，耦合虚拟场a与强度磁化的绝对值。该项h影响条件概率分布，修正均值μ的计算。?i的符号表示买卖决策，幅度|?i|反映代理人对价格变化的信心。?4理论能够表达代理人期望的显著差异，区别于传统的二元自旋模型。h项的引入可能导致反铁磁相互作用，产生复杂的动态行为。
风格化的φ4金融市场的事实
实施Gibbs采样，参数为m2 = -3.0, λ = 0.7, a = 5.0，获得64×64格子的多代理??模型配置，经过平衡后生成10?个配置。该模型在破对称相中，旨在验证其能否重现FTSE 100指数的实证数据，从1984年10月1日到2024年9月30日的收盘值。
经过20500、28311和30000次蒙特卡洛扫荡后，观察到不同的相态：20500次时出现亚稳态，28311次时转为混沌相，30000次时再次出现亚稳态。计算股票价格的对数收益率r(t)和??理论的收益率r??(t)，两者均显示出间歇性大波动，表明模型具有足够的代表性。观察到收益率的肥尾分布，κ?? = 3.37，κFTSE = 10.42，均偏离高斯分布，且κ值依赖于样本大小和耦合参数。绝对收益的累积分布函数显示出幂律行为，临界指数θ在2到4之间，??模型的结果与θ = 2.3的线性比较。
观察到金融市场中存在聚集波动性，绝对收益|r(t)|在较长时间内呈正相关，且自相关性呈幂律衰减。从图2可以推断出聚集阶段的存在。图5展示了从多代理?4理论获得的|r ?4 (t)|的自相关函数，显示出与实证数据相似的自相关尺度。
?4格点场理论能够再现金融市场的非平凡特征，且有潜力扩展以建模实证金融数据。
总结
本文提出了一个具有挫败动态的?4格点场论作为多代理系统，以重现金融市场的风格化特征，如收益的厚尾分布和波动聚集。每个格点代表一个代理，分为基本面交易者（依据资产基本价值决策）和技术分析交易者（依据趋势决策）。
该模型在定性上能够重现FTSE 100伦敦证券交易所指数的实证金融数据行为，表明其具有足够的表征能力，可扩展至实际定量研究问题。可通过寻找最准确的耦合参数m2和λ，定义破缺对称相的系统，解决逆问题。考虑耦合参数的不均匀性和代理间的无序交互，可能使模型更具表征能力。
?4格点场论具有连续自由度，适用于多代理系统的期望表示。?4理论是伊辛模型的推广，能在相变上与伊辛模型同类。该理论在λ=0时可交叉到高斯模型。?4理论在多代理系统中的应用潜力超越金融市场简化模型。
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